Plusieurs expressions avec l'adjectif numéral ordinal premier peuvent occasionner quelques hésitations en matière d'accord.
• En premier : dans cette locution adverbiale, premier est invariable.
Elle est arrivée en premier (et non en première) mais Elle est arrivée première (ou la première).
Remarque : De même, on dira : Elle a fini premier (et non première).
• Tout premier, toute première
Les tout premiers instants mais Les toutes premières heures (premier, adjectif, s'accorde en genre et en nombre ; voir la règle d'accord de tout, adverbe).
• Premier-né, première-née
Les premiers-nés de la maternité, les premières-nées (le féminin est peu usité).
Remarque : De même, on écrira un dernier-né, des derniers-nés, des dernières-nées... mais des nouveau-nés car nouveau est ici pris adverbialement au sens de « nouvellement » (l'Académie précise toutefois que le féminin nouvelle-née se rencontre...).
Remarque 1 : L'abréviation des adjectifs numéraux ordinaux est la suivante : 1er (1ers au pluriel) pour premier, 1re (et non 1ère) pour première ; second (2d, 2ds, 2de, 2des) et deuxième (2e, 2es) ; à partir de troisième, un simple e (et non ème) suffit au singulier (3e, 4e, etc.). Mais on écrit le Premier ministre, le Premier(-)Mai (= fête du Travail). Et le XVIIIe siècle.
Remarque 2 : Le latin primus, dont dérive premier, a tout d'abord donné les formes prin et prime qui ont survécu dans printemps et prime abord.
Remarque 3 : Voir également les billets La Première ministre, Les premières vingt-quatre heures et Le Premier(-)Mai.
Subtilités
Ma fille est entrée en premier mais Ma fille est entrée en première (= en classe de première).
Livre de Servane Heudiard, Éditions First