Voilà deux mots d'usage courant, dont l'emploi peut être source de difficultés et d'impropriétés.

On privilégiera tout d'abord le pluriel francisé de ces termes latins (minimum, « le plus petit » ; maximum, « le plus grand »), selon la recommandation de l'Académie des sciences (1959) : des maximums, des minimums (comme des albums) de préférence à des maxima, des minima (pluriel des substantifs latins).

Les minimums sociaux.

Le minimum vital (abréviation de « salaire minimum vital »).

Il a pris un maximum de précautions.

Il a fait le maximum pour la satisfaire.

Même si l'Académie (française) admet leur emploi adjectival (sous l'influence de l'usage anglais ?), on se gardera d'utiliser ces deux noms comme adjectifs afin d'éviter la confusion des accords ; on aura alors recours à maximal, minimal.

Il n'a fourni qu'un effort minimal (ou minime, de préférence à minimum).

Le tarif minimal, la dose minimale (de préférence à minimum).

L'avocat a requis la peine maximale (de préférence à maximum).

Les températures maximales, les prix maximaux.

Enfin, on sera tout particulièrement vigilant dans l'emploi des expressions au maximum et au minimum, notamment quand on veut leur donner la valeur de « le plus possible, à l'extrême ». Afin d'éviter toute équivoque, on dira de préférence (même si tous les grammairiens ne sont pas d'accord sur ce point, cf. Remarque 3) :

Réduire, diminuer, limiter, simplifier au minimum (= au plus bas degré, donc le plus possible) mais Augmenter au maximum (= au plus haut degré, donc le plus possible).

Les risques sont réduits au minimum mais Le volume est augmenté au maximum.

L'intervention durera deux heures au maximum (= tout au plus).

Il y avait au minimum cent personnes (= au moins).

Elle a donné son maximum pour réduire les délais au minimum.

On retiendra que minimum / maximum sont des noms, minimal / maximal des adjectifs.

Remarque 1 : Les mêmes recommandations valent pour optimum / optimal (« le meilleur »).

Remarque 2 : L'emploi adjectival de maximum, minimum est attesté à partir de la fin du XVIII^e siècle : « Le nombre maximum des plaisirs » (Jean-Claude Delamétherie, Principes de la philosophie naturelle, 1787).

Remarque 3 : Certains spécialistes (dont Hanse) déterminent le choix entre au minimum et au maximum selon que l'on considère l'intensité de l'action ou le résultat : Les risques sont réduits au minimum (résultat) mais Réduire au maximum les risques (intensité de la réduction).

Remarque 4 : Maximum et minimum étant des superlatifs (exprimant le degré ultime), on se gardera de les faire précéder de l'adjectif grand (au grand maximum est un pléonasme). De même, on ne dira pas : Cette somme constitue un maximum qui ne pourra pas être dépassé ni un minimum au-dessous duquel on ne peut descendre. En revanche, minime, bien qu'issu lui aussi d'un superlatif latin, est le plus souvent considéré comme un adjectif ordinaire pouvant se trouver avec des degrés de comparaison (très, trop, assez...).

Remarque 5 : En droit, la locution adverbiale a minima (empruntée du latin a minima poena, « à partir de la peine la plus petite ») ne s'emploie que dans la formule appel a minima, qui se dit d'un appel que le ministère public introduit quand il estime que la peine prononcée est insuffisante. Par extension (non enregistrée par l'Académie ni par mon Petit Larousse illustré 2005 ni par le Robert illustré 2013), a minima est aujourd'hui couramment employé avec le sens de « réduit au minimum » (un accord a minima) ou de « au moins » (Il faut a minima un vote sur le sujet). Mieux vaut s'abstenir...

Remarque 6 : Les verbes minimiser (« faire apparaître une chose comme moins importante qu'elle n'est »), maximiser (« porter à son plus haut degré ») et optimiser (« porter à son plus haut degré d'efficacité ») sont reconnus par l'Académie, qui préfère cependant améliorer, utiliser au mieux à l'anglicisme optimiser. Mais ne sont pas répertoriés maximaliser ni optimaliser.

(Livre de J. R. Geyer, Éditions Indigène)