Bien que proches par leur étymologie (du latin cumulare, entasser, amasser) et leur sens, ces deux verbes ne sont pas pour autant synonymes.

Accumuler

Accumuler signifie « amasser, entasser », au sens propre comme au sens figuré. On notera l'idée de progression dans le temps et de verticalité contenue dans ce mot (pensez à la réalisation d'un tas).

Verbe transitif, accumuler peut être employé absolument (sans complément, au sens de « thésauriser ») ou à la forme pronominale.

Accumuler des provisions, des marchandises, des heures de travail, des preuves contre quelqu'un, des dettes, les bêtises, les erreurs, les honneurs, les connaissances, etc.

Il accumule (des richesses).

Les dossiers s'accumulent sur son bureau. Les charges s'accumulent contre lui. La neige s'est accumulée sur le toit.

Cumuler

Cumuler signifie, en termes de jurisprudence, « assembler, réunir » (cumuler des preuves, des infractions). Dans le langage courant, ce verbe est employé au sens de  « réunir sur sa personne, avoir simultanément la jouissance (de droits, de qualités, d'avantages...) » puis, par extension, « exercer en même temps » (souvent avec une connotation péjorative). Cette fois, c'est l'idée de simultanéité et d'avantage (parfois injustifié) qui prédomine.

Verbe transitif, cumuler peut être employé absolument (au sens de « occuper abusivement plusieurs emplois »). On notera que son emploi à la forme pronominale, bien que fréquent, n'est pas reconnu par l'Académie ; dans ce sens, on privilégiera s'ajouter, s'amonceler, s'accumuler, se combiner, etc.

Cumuler les fonctions, les titres, les honneurs, etc.

Il cumule (des emplois).

Les indemnités peuvent s'ajouter (de préférence à peuvent se cumuler).

Remarque 1 : On peut donc accumuler les honneurs (= en recevoir de plus en plus, dans la durée) ou cumuler les honneurs (= en recevoir plusieurs en même temps, à la fois). En revanche, lorsque l'on évoque des défauts ou des inconvénients, mieux vaut employer accumuler (les sottises, les erreurs, les fautes).

Remarque 2 : Quand il est question d'objets, (s')accumuler est de rigueur.

Remarque 3 : On notera que les noms associés sont cumul et accumulation.

Le cumul des mandats. Une accumulation d'objets.

Et accumulez les œufs de Pâques !