Selon le sens (et le niveau de langue...), le verbe convenir se conjugue avec l'auxiliaire avoir ou avec l'auxiliaire être. Et l'Académie tient à ce que l'on évite toute confusion ! Il serait contraire aux convenances de la décevoir...

Convenir de

Au sens de « être d'accord, se mettre d'accord, s'entendre sur » ou de « reconnaître, admettre », convenir se construit avec la préposition de et se conjugue traditionnellement avec l'auxiliaire être.

Nous sommes convenus de nous voir demain (de préférence à Nous avons convenu de).

Je conviens de ce que vous dites. J'en conviens. C'est ce dont je conviens.

Elle est convenue de son erreur (= elle a admis son erreur). Elle en est convenue.

Dans la langue soignée, convenir de se conjugue avec le même auxiliaire que venir.

Dans le tour impersonnel il convient de + infinitif (« il est souhaitable, opportun de »), convenir se construit avec la préposition de et se conjugue avec l'auxiliaire avoir.

Il convient d'alerter la police.

Il eût convenu de partir.

Convenir à

Au sens de « être approprié, plaire à », convenir se construit avec la préposition à et se conjugue avec l'auxiliaire avoir.

Cette date a convenu à chacun.

Voilà un menu qui me convient tout à fait.

Remarque 1 : L'usage moderne tend à employer l'auxiliaire avoir dans les deux cas (même chez de bons écrivains, notent Grevisse et Hanse), malgré les protestations de l'Académie : « Dans cet emploi, Avoir convenu de est fautif. On ne doit pas dire et moins encore écrire : nous avons convenu de, mais nous sommes convenus de. » Comparez : Ils sont convenus de se revoir mais Ces chemises ont convenu (= ont fait l'affaire).

Les partisans de l'emploi du seul auxiliaire avoir dans les temps composés de convenir rappellent à l'envi cette remarque de l'Office de la langue française : « La distinction [traditionnelle] est subtile et franchement arbitraire » (Revue universitaire, 1938). Trois observations s’imposent.

• Subtile, la distinction entre avoir convenu et être convenu l'est assurément, mais est-elle pour autant arbitraire ? Voire. Car enfin, tout porte à croire qu'elle est fondée sur des considérations étymologiques : emprunté du latin convenire, formé de cum (« avec ») et de venire (« venir »), convenir signifie proprement « venir ensemble, se réunir » (en particulier en vue d'une entente, d'une décision) et, en tant que composé de venir, se conjugue de longue date avec l'auxiliaire être : « Li baillis laisse convenir prevoz et sergans » (Philippe de Beaumanoir, 1283), « Vent [fut] si vehement à Ardere où ilz estoient convenuz » (Simon de Phares, vers 1495). De là l'emploi de être dans l'acception « tomber d'accord » qui, à en croire Bernard Cerquiglini, « n'est pas très éloignée de l'étymologie et porte en elle une idée de mouvement » : « Certeinnes lettres faisans mention de treves prises, et convenues, et jurées entre le roy de Castelle et le roy de Portugal » (Nicolas de Baye, avant 1410), « Estoient convenuz ensemble que [...] » (Procès-verbal du Conseil du Roi, 1455). En revanche, dans le sens général de « être approprié », « qui n'est plus associé à un quelconque mouvement », c'est avoir qui s'est imposé : « Pour ce m'a convenu prandre ce que je en ay peu trouver » (Simon de Phares, vers 1495).
• Il convient de replacer la phrase de l'Office de la langue française dans son contexte : « La distinction est subtile et franchement arbitraire. Or, une tendance actuelle, fort heureuse, est de distinguer, par l'emploi de l'auxiliaire, les verbes intransitifs, selon qu'ils marquent l'action dans son accomplissement : "Le livre a paru hier", "Comme cet enfant a maigri ces derniers temps !" − ou l'action considérée comme accomplie : "Le livre est maintenant paru", "Comme cet enfant est maigri !". L’emploi pour ces verbes de l'auxiliaire être, dans le dernier exemple surtout, est considéré par les puristes comme très incorrect. Pourtant la tendance est à encourager, puisqu'elle vise à marquer une nuance, à introduire dans la conjugaison française la notion d'“aspect”, qui lui est restée jusqu'ici presque complètement étrangère. Il serait à désirer qu'avec le verbe convenir une distinction de cette nature pût être introduite. » Voilà qui change sensiblement la donne... Las ! l'idée d'étendre cette tendance à convenir (Hier, nous avons convenu de nous revoir. Nous sommes désormais convenus de nous revoir) prend le contre-pied des considérations étymologiques de Cerquiglini.
• L'emploi de l'auxiliaire avoir ne saurait convenir à l'impersonnel il est convenu ce qui suit, il est convenu que (où convenu est alors adjectif).

Remarque 2 : Convenir peut également se construire avec que (suivi d'une proposition complétive).

Ils conviennent qu'ils se reverront. Je conviens qu'il a raison (constructions personnelles).

Il convient que vous fassiez vos devoirs (construction impersonnelle au sens de « il est souhaitable, opportun » → proposition au subjonctif, auxiliaire avoir).

Il est convenu que vous viendrez nous voir ou Il était convenu que vous viendriez nous voir (construction impersonnelle au sens de « il a été entendu, décidé » → proposition à l'indicatif ou au conditionnel, auxiliaire être).

Remarque 3 : On évitera autant que possible les tours pléonastiques convenir ensemble, convenir entre soi, etc.

Vaste entreprise, vous en conviendrez !