Faisant tous deux référence à une certain sentiment d'insatisfaction ou de culpabilité, regret et remords (notez le s final même au singulier) sont souvent confondus.
La différence, bien que subtile, n'en est pas moins présente : en fait, remords est beaucoup plus chargé moralement que regret.
« Le remords est le sentiment de culpabilité que l'on éprouve quand on a commis une faute [...], alors que le regret c'est [surtout aujourd'hui] le déplaisir d'avoir perdu un bien qu'on possédait, ou d'avoir manqué celui que l'on aurait pu acquérir, [et], par affaiblissement, la contrariété que l'on a à faire ce qui nous déplaît ou déplaît à autrui » (rubrique Dire, ne pas dire du site Internet de l'Académie, 2019).
Ainsi peut-on regretter une parole qui s'est révélée blessante, une opportunité qui ne s'est pas concrétisée, un être cher qui a disparu, mais l'on se doit d'être pétri de remords quand on a trompé son conjoint !
Remarque : Il existe plusieurs expressions construites avec regret : être au regret de (= éprouver un déplaisir d'avoir dit, d'avoir fait quelque chose), se consummer en regrets, faire quelque chose à regret, etc.