Selon le sens (et le niveau de langue...), le verbe convenir se conjugue avec l'auxiliaire avoir ou avec l'auxiliaire être. Et l'Académie tient à ce que l'on évite toute confusion ! Il serait contraire aux convenances de la décevoir...
Convenir de
Au sens de « être d'accord, se mettre d'accord, s'entendre sur » ou de « reconnaître, admettre », convenir se construit avec la préposition de et se conjugue traditionnellement avec l'auxiliaire être.
Nous sommes convenus de nous voir demain (de préférence à Nous avons convenu de).
Je conviens de ce que vous dites. J'en conviens. C'est ce dont je conviens.
Elle est convenue de son erreur (= elle a admis son erreur). Elle en est convenue.
Dans la langue soignée, convenir de se conjugue avec le même auxiliaire que venir.
Dans le tour impersonnel il convient de + infinitif (« il est souhaitable, opportun de »), convenir se construit avec la préposition de et se conjugue avec l'auxiliaire avoir.
Il convient d'alerter la police.
Il eût convenu de partir.
Convenir à
Au sens de « être approprié, plaire à », convenir se construit avec la préposition à et se conjugue avec l'auxiliaire avoir.
Cette date a convenu à chacun.
Voilà un menu qui me convient tout à fait.
Remarque 1 : L'usage moderne tend à employer l'auxiliaire avoir dans les deux cas (même chez de bons écrivains, notent Grevisse et Hanse), malgré les protestations de l'Académie : « Dans cet emploi, Avoir convenu de est fautif. On ne doit pas dire et moins encore écrire : nous avons convenu de, mais nous sommes convenus de. » Comparez : Ils sont convenus de se revoir mais Ces chemises ont convenu (= ont fait l'affaire).
Les partisans de l'emploi du seul auxiliaire avoir dans les temps composés de convenir rappellent à l'envi cette remarque de l'Office de la langue française : « La distinction [traditionnelle] est subtile et franchement arbitraire » (Revue universitaire, 1938). Trois observations s’imposent.
Remarque 2 : Convenir peut également se construire avec que (suivi d'une proposition complétive).
Ils conviennent qu'ils se reverront. Je conviens qu'il a raison (constructions personnelles).
Il convient que vous fassiez vos devoirs (construction impersonnelle au sens de « il est souhaitable, opportun » → proposition au subjonctif, auxiliaire avoir).
Il est convenu que vous viendrez nous voir ou Il était convenu que vous viendriez nous voir (construction impersonnelle au sens de « il a été entendu, décidé » → proposition à l'indicatif ou au conditionnel, auxiliaire être).
Remarque 3 : On évitera autant que possible les tours pléonastiques convenir ensemble, convenir entre soi, etc.
Vaste entreprise, vous en conviendrez !