Nombreux sont ceux qui avouent avoir des difficultés à établir la distinction entre quoique en un seul mot et quoi que en deux mots, servant tous deux à introduire une subordonnée de concession. Voici une synthèse qui devrait les y aider.

Quoi que

En deux mots, quoi que (suivi du subjonctif) est une locution qui signifie « quelle que soit la chose que ».

Quoi qu'il en soit, vous avez tort (= quel que soit le contexte, vous avez tort).

Quoi que vous disiez, ça ne changera rien (et non quoique vous disiez).

Tu peux me demander quoi que ce soit (= n'importe quoi).

Je continuerai quoi qu'il advienne.

Quoique

En un seul mot, quoique (suivi ou non d'un verbe conjugué) est une conjonction de subordination qui exprime une concession, une réserve au sens de « bien que », « encore que ». Le verbe qui suit est généralement au subjonctif (même si l'on trouve des exemples d'emploi avec l'indicatif ou le conditionnel).

Il n'est pas plus tolérant avec les personnes âgées, quoiqu'il en fasse partie (= bien qu'il en fasse partie).

Quoique fort sympathique, il ne m'inspire pas confiance (= bien qu'il soit très sympathique).

Je passerai te voir ce soir, quoique je préférerais venir demain. Quoique, dans ce cas, il serait bien inspiré de ne rien faire (emploi du conditionnel pour marquer l'éventualité).

Remarque 1 : Contrairement à quoique, qui n'a d'autre rôle que d'introduire la proposition subordonnée, quoi que a toujours une fonction dans ladite subordonnée (quoi étant mis pour « quelque chose, n'importe quoi »).

Remarque 2 : La locution pronominale quoi que ce soit peut s'utiliser dans une phrase de sens négatif : Il m'interdit de dire quoi que ce soit. Il ne faut pas toucher à quoi que ce soit.

Subtilités

Quoi qu'il arrive (= peu importe ce qui arrive), je suis serein mais D'ordinaire, je suis serein, quoiqu'il arrive (= bien qu'il arrive) parfois que je m'inquiète.

 
Quoique, célèbre sketch de Raymond Devos

Je t'aimerai toujours, quoi qu'il arrive
de Debi Gliori, Editions Gautier-Languereau