Si l'usage tend à employer indifféremment les locutions à nouveau et de nouveau, l'Académie, quant à elle, les distingue nettement (tout du moins depuis 1935) : à nouveau signifie « de façon complètement différente, en repartant de zéro », quand de nouveau a le sens de « une fois de plus, derechef », mais de la même façon.

Deharveng cite cette phrase de Borsu (la Bonne Forme), qui aide à bien comprendre la nuance :

« Le professeur qui explique de nouveau une théorie donne les mêmes explications que la première fois ; c'est une simple répétition. Celui qui explique à nouveau donne d'autres explications, les dispose dans un autre ordre, s'y prend autrement. »

Ainsi dira-t-on correctement :

J'ai raté mon dessin, je vais le faire à nouveau (= d'une façon totalement différente, dans l'espoir qu'il soit plus réussi).

J'ai raté mon dessin, je vais le faire de nouveau (= de la même façon, donc il sera une fois de plus raté).

À nouveau = d'une façon différente, sur de nouvelles bases (idée de manière)
De nouveau = une fois de plus (idée de répétition, de temps).

Remarque 1 : Si Grevisse s'est fait docilement l'écho de la recommandation des Immortels dans Le Français correct (1982), il semble que Goosse, dans Le Bon Usage (2008), porte sur la question un regard moins « complaisant » que son illustre prédécesseur :

« Les grammairiens, arbitrairement, ont attribué un rôle particulier à la seconde locution [à nouveau], lorsqu’elle est apparue au XIX^e siècle, alors qu’elle a eu dès le début la même signification que la première locution [de nouveau, attesté depuis le XII^e siècle], comme Littré le reconnaissait déjà. L’usage des auteurs n’a pas suivi cette distinction artificielle. »

Remarque 2 : Composé de la préposition de, de re et de chef (au sens ancien de « bout, fin ») pour « ayant atteint une seconde fois l'extrémité », l'adverbe derechef, en un seul mot, appartient au registre littéraire (et vieilli). Il est synonyme de de nouveau et non pas de sur-le-champ, aussitôt, immédiatement, comme le croient certains. Quitte à employer un mot un rien désuet, autant le faire avec précision !

Elle se mit derechef à fouiller dans son sac, sans plus de succès.